Родившись в Тифлисе, Алекси-Месхишвили в юном возрасте уехал из города для изучения медицины, но по окончанию своей учебы выбрал стезю не врача, а учителя, после того, как вернулся в столицу.
Вскоре он получил должность руководителя Тифлисского Драматического театра (1890-1896 годы), позже переехал в Кутаиси, руководя в 1897-1906 годах Кутаисским Драматическим театром.
В 1906-1907 годы Алекси-Месхишвили играл в Московском Художественном Театре, после чего вновь вернулся к руководству Тифлисским Драматическим театром в 1910-1914 годы.
А с 1916 по 1918 годы работал в России, где был снят в нескольких ранних кинофильмах.
В 1930 году Алекси-Месхишвили был посмертно удостоен звания Народного Артиста Грузинской ССР, а через десять лет его именем был назван Кутаисский Драматический театр.