Название Кура, вероятно, связано с мегрельским словом «кур», что означает «вода, река».
Грузинское название реки — Мтквари (в древнегрузинском — Мткуари), либо происходит от грузинского «хорошая вода», либо является формой мегрельского «тквар-уа» — «грызть» (река ‘грызет’ свой путь через горы).
Кура берёт свое начало на северо-востоке Турции, в небольшом ущелье Карского нагорья на Малом Кавказе. Направляясь вначале на запад, а затем — к северу и на восток, она пересекает границу с Грузией. Здесь Кура протекает по каньону недалеко от Ахалцихе, мимо Гори, Мцхеты, вдоль западной стороны Тбилиси. Оставляя позади Рустави, река пересекает границу с Азербайджаном, где и впадает в Каспийское море у Нефтчалы.